عملیات روی ماتریس ها در متلب

در قسمت پنجم از سری آموزش های متلب ، با آموزش عملیات روی ماتریس ها در متلب با شما هستیم،در این بخش فرض بر این است که ماتریس ها بیش از یک سطر و یا ستون دارند.

جمع و تفریق ماتریس ها در متلب

جمع و تفریق دو آرایه به صورت جمع و تفریق عناصر نظیر به نظير تعریف می شود. در این حالت باید آرایه ها دارای ابعاد مشابهی باشند (دارای سطر و ستون مشابه باشند).

به عنوان مثال اگر A و B دو آرایه (ماتریس های 2×3) به صورت زیر باشند:

آنگاه جمع ماتریسی ( A + B ) به صورت زیر به دست خواهد آمد.

حاصل ضرب نقطه ای ماتریس ها در متلب

منظور از ضرب نقطه ای محاسبه اسکالری از حاصل ضرب دو بردار با ابعاد مشابه است. منظور از ضرب اسکالری ضرب درایه به درایه از هر بردار در بردار دیگر با سایز مشابه و سپس مجموع آنهاست است. به عنوان مثال برای بردارهای n عضوی A و B داریم:

دستور ( dot( A , B در MATLAB حاصل ضرب نقطه ای بین A و B را تولید می کند. اگر A و B ماتریس باشند، در این حالت خروجی دستور مذکور شامل یک بردار سطری است که این بردار شامل حاصل ضرب نقطه ای نظیر به نظیر عناصر ستون های ماتریس A در B و سپس جمع عناصر ستونهای ماتریس حاصل است مثال:

ضرب ماتریس ها در متلب

حال با توجه به تعریف ضرب نقطه ای با استفاده از دستور ( dot( A , B ، ضرب آرایه ای دو ماتریس A و B عبارت است از ضرب نقطه ای سطر i ام از ماتریس A و ستون زام از ماتریس B به صورت زیر: |

 تقسیم آرایه ای در متلب

عملیات تقسیم آرایه ای با عملیات ایجاد ماتریس معکوس مشابه است که در ادامه به توضیح آن پرداخته می شود.

ماتریس همانی در متلب

ماتریس همانی یک ماتریس مربعی است که همه ی عناصر روی قطر اصلی آن یک بوده و سایر عناصر ماتریس، صفر می باشند. خصوصیت این ماتریس این است که اگر از سمت راست یا سمت چپ در یک ماتریس مانند A (با ابعاد مشابه) ضرب شود، حاصل خود A است.

AI = IA = A

 معکوس یک ماتریس در متلب

ماتریس B را معکوس ماتریس A گویند هرگاه حاصل ضرب آرایه ای دو ماتریس، ماتریسی همانی شود. در این حالت باید دو ماتریس مربعی بوده و دارای ابعاد مشابهی باشند.

AB = BA = I

ترانهاده ماتریس در متلب

ترانهاده ی یک ماتریس، ماتریسی جدید از ماتریس قبلی بوده که سطرهای ماتریس اصلی، ستون های ماتریس جدید می باشند. ترانهادهی یک ماتریس داده شده مانند A را در ریاضیات، معمولا به صورت A به توان T نشان می دهند. در نرم افزار MATLAB ترانهادهی ماتریسی مانند A به صورت ‘A نشان داده میشود.

دترمینان ماتریس در متلب

دترمینان یک ماتریس یک نوع محاسبهی اسکالری از عناصر یک ماتریس مربعی است. به عنوان مثال برای یک ماتریس 2×2 مانند A دترمینان آن به صورت زیر محاسبه می شود:

نرم افزار MATLAB دترمینان یک ماتریس را با استفاده از تابع det محاسبه می کند. به مثال زیر توجه نمایید:

تقسیم آرایه ای در متلب

در MATLAB دو نوع تقسیم آرایه ای وجود دارد که عبارت اند از:

1. تقسیم راست
2. تقسیم چپ

تقسیم چپ در متلب

تقسیم چپ معمولا برای حل معادلهی ماتریسی Ax=B مورداستفاده قرار می گیرد که x و B بردارهای ستونی می باشند. با ضرب طرفین معادله ی بالا در معکوس ماتریس A داریم:

در نرم افزار MATLAB معادله ی بالا به صورت زیر و با نام تقسیم چپ نوشته می شود:

x=A\B

تقسیم راست در متلب

MATLAB تقسیم راست عموما برای حل معادلاتی به صورت زیر مورداستفاده قرار می گیرد

xA=B

که در اینجا و B ماتریس های سطری می با

شند. با ضرب طرفین معادله ی بالا در معکوس ماتریس A داریم:

در نرم افزار MATLAB معادله ی حاصله را تقسیم راست نامیده و عبارت است از:

x=B/A

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در متلب

معادله ی مقابل را در نظر بگیرید:

AX = λX

که A یک بردار مربعی X , n*n یک بردار ستونی با n سطر و λ یک اسکالر است. در این حالت مقادیر λ برای X های غیر صفر، مقادیر ویژه ی ماتریس A نامیده می شوند و مقادیر متناظر X بردارهای ویژهی ماتریس A نامیده می شوند. معادله ی بالا به صورت روبرو نیز استفاده می شود:

0=A-λI)X)

که در اینجا یک ماتریس n*n همانی است.

معادله ی بالا متناظر با یک دسته معادلات همگن است که این معادلات در صورتی جواب غیر جزئی دارند که دترمینان آنها مساوی صفر گردد و یا
0=|A-λI|،عموما معادله ی 0=|A-λI| به عنوان معادله ی مشخصه ی ماتریس A شناخته می شود. نرم افزار MATLAB می تواند مقادیر و بردارهای ویژه، برای ماتریس A را تعیین کند. تابع ( eig ( A مقادیر ویژه ی ماتریس A را به صورت یک بردار ستونی به شما نمایش خواهد داد. تابع
( Q, d ] = eig ( A ] یک ماتریس مربعی با نام Q شامل بردارهای ویژه A به صورت ستونی و یک ماتریس مربعی با نام d شامل مقادیر ویژه ی ماتریس A به صورت قطری را ایجاد می نماید.

عامل های بالا پایین مثلثی در متلب

عامل های بالا پایین مثلثی، عوامل ایجاد ماتریس های مربعی بالا مثلثی و پایین مثلثی می باشند. تابعی که در MATLAB عوامل بالا یا پایین مثلثی را محاسبه می کند تابع lu است. دستور (L , U ] = lu ( A ] عامل پایین مثلثی را محاسبه کرده و آن را در ذخیره می کند و همچنین عامل بالا مثلثی

محاسبه شده را در U ذخیره می کند. حاصل ضرب L وU به دست آمده مقدار اصلی ماتریس A خواهد شد.

تجزیه به مقادیر ویژه در متلب

SVD یک ماتریس مانند A (با ابعاد m*n) را به سه عمل ماتریسی تجزیه می کند:

A = USV

که U و Vدو ماتریس متعامد و S یک ماتریس قطری است. بعد ماتریس m*m،  U، سایز ماتریس n*n،V و سایز ماتریس m*n ، S است. مقادیر ماتریس قطری S عموما مقادیر ویژه نامیده می شوند. تعداد مقادیر ویژه ی غیر صفر، معادل رتبه ی (Rank) ماتریس است. عوامل SVD با استفاده از تابع svd قابل محاسبه می باشند. در نرم افزار MATLAB تابع (U , S , V ] = svd ( A ] عوامل ضربی U, S , V ) A ) را محاسبه کرده که U و ۷ ماتریس های متعامد و S یک ماتریس قطری است. دستور مستقیم (svd( A در MATLAB المان های قطری S که همان مقادیر ویژه ی A می باشند را بر می گرداند.

پیشنهاد مطالعه: چندجمله ای ها در متلب (قسمت هفتم)

برای رفتن به لیست آموزش های متلب روی دکمه زیر کلیک کنید